Без загранпаспорта прописка делается в Армении?

Вроде нет, вам нужно обратится в ОВИР и уточнить.

Можно сделать через карточку workpermit вместо паспорта, если она у вас есть.

Раньше точно делалась, скорее всего и сейчас можно. Но штамп во внутренний паспорт рф ставить нельзя, т. к. это сделает его недействительным. В случае прописки с воркпермитом информация о регистрации содержится в базе данных, но если нужно какое-то физическое подтверждение факта регистрации, то надо повторно записываться в паспортный стол, чтобы получить справку о регистрации на отдельном листе бумаги - возможно, в случае с регистрацией по внутреннему паспорту рф ситуация аналогичная.