Встретилась информация, что по приезде в другую страну с питомцем нужно отметиться в местной ветеринарной клинике во избежание неприятностей типа усыпления.

Никто в Сербии усыпить не будет. Сделаете паспорт, как подойдёт срок ревакцинации.

Нигде не надо регаться, это не ЕС. Даже прививки можно в российский паспорт поставить.