Подскажите, пожалуйста: едем в Белград на пару недель, сняли квартиру на Airbnb.

Какой вопрос задали такой ответ получили. Уточните регистрирует ли он гостей в системе еТуриста. Это не услуга а первейшая обязанность. Попросите распечатку или файл - их часто не дают просто потому что они мало кому нужны. Я не встречал случая чтобы не регистрировли. Также имейте с собой распечатку букинга. Для туриста точно ничего больше не требуется. БК - это для тех кто снимает жилье по договору аренды - не ваш случай.