Подскажите, пожалуйста, где в Батуми, в каком банке можно открыть расчетный счёт с картой (без ВНЖ)?

В любом. Рекомендую первым делом в сакартвело банке (bank of georgia). Физикам редко отказывают. Лайфхак, если отказали, даже ип, можно по той же платежке подать заявление снова, не нужно каждый раз платить, на 2-3 раз одобрят.