Подскажите, если в БА подать документы, а потом переехать в провинцию, прекарию можно будет продлевать в другой провинции? Или все заново придется начинать?

Прекария продлевается нажатием кнопки на сайте. В любом случае, всегда в вашу пользу сообщить о смене места жительства. Если вам вдруг сообщат о том, что вас выгоняют из страны - это оповещение придёт на последний зарегистрированный адрес)) Если вдруг вас захотят вызвать на собеседование (если семейный) - то тогда вас позовут в ближайшее отделение, при условии, что вы заранее оповестили о переезде.