Подскажите, разрешено ли двойное гражданство между Россией и Грузией?

Двойное нет, два гражданства можно иметь.

В грузии можно взять гражданство Грузии при этом сохранив допустим российское гражданство. Делается это только в исключительных случаях. Если вы делаете большие инвестиции в Грузии, если вы спортсмен, если вы какой то специалист в какой то сфере и второго такого нет в грузии, если вы родились в грузии и по каким то причинам потеряли гражданство грузии - можете его восстановить и все это только с согласия президента грузии ( или скорее его президентского аппарата). Соответственно экзамены сдавать придеться по любому. Можно , но не просто.