Подскажите, пожалуйста, могу ли я как ИП в Грузии сделать договор с гражданином РФ, который тоже живет в Грузии, с оплатой не в лари, а долларах?

Можете, в лари. При этом Ваш контрагент должен иметь Микробизнес либо ИП, чтобы он мог вести предпринимательскую деятельность и платить сам налоги. Либо Вам необходимо оформлять его в найм, регистрировать в реестре эмигрантов и на сайте Минздрава и платить на его ЗП налоги.