Может ли один человек в вет клинике и аэропорту оформить эти документы на другого человека? Или обязательно личное присутствие того, кто повезет животное?

Да, должен брать справку тот, кто везет. есть сговорчивые сббж, которые и так выдают (у меня например паспорт вообще не смотрели, кто угодно мог прийти). но правило такое: присутствие перевозчика обязательно.