Кто платил пошлину за посылку в Грузии, где в личном кабинете налоговой убедиться, что деньги им дошли?

Смотря что. НДС платится на 101001000 и Вы можете его засечь во вкладках для проверки налогового долга, если не снимут раньше. А пошлина идёт на другой счёт и Вы ее не увидите. Ваша задача оплатить и предоставить квитанцию, а они спишут.