Подскажите, перелеты в некоторые страны идут буквально сутками и больше. Как в таком случае быть с собакой? Какие есть варианты перевозки?

Если билет единый, т. е. два сегмента в одном бронировании, животных не выдают на пересадке. Если выход из транзитный зоны, потому что летите разными а/к или одной, но разными бронированиями, то можно получить животное из багажа. Виза тут нужна, если страна транзита требует визу.