Подскажите, пожалуйста, если машина зарегистрирована на родителей, смогу ли на ней проехать в Абхазию без доверенности? Или обязательно необходима доверенность?

Только нотариальная доверенность с правом выезда за границу.

Доверенность нужна.

Лучше, что бы была, и пункт с правом выезда за границу и указантем сроков, могут и не спросить, а могут и спросить где хозяин, тут как попадешь.