Подскажите пожалуйста, что нужно отключить в настройках связи перед пересечением границы Абхазии, чтобы не списались деньги?

Включить режим полета.

Включите авиарежим и всё.

Интернет.

Интернет однозначно. Насчёт телефона - если роуминг устраивает, то оставляйте.

Отключите режим передачи данных (интернет) и все! Ничего больше не надо тыкать.

От условий вашего тарифа зависит. Включайте режим полета-не прогадаете.