Подскажите, загран паспорт РФ заканчивается в мае 2024, могу ли подать документы с этим паспортом на внж в декабре 2023?

Можете, но ВНЖ тогда будет действительно до мая 2024.

* или не примут документы, или попросят донести новый паспорт.

У меня не приняли в апреле 23 (паспорт кончался в октябре 23) ну это было не единственное обоснование там по Двум причинам не хотели принимать одну из них была паспорт сказали едете в Россию меняйте. Поменяла в итоге все ок.