Я получаю на счет 1400 лари, заплатил 340€, он ушёл в минус и не использовал лари. Это нормально?

Да.

Он наконвертит автоматически чтобы закрыть минус. Но лучше вроде бы сконвертить вручную, у автоконвертации курс хуже, насколько помню.

Может стоит конвертнуть самостоятельно? у некоторых банков есть "технический овердрафт" (вроде это он и есть?) и на него могут начисляться конские проценты. или при автоконвертации обмен валюты по невыгодному курсу...