Может кто-то подскажет частные онсены в Токио, Осаке, Киото.

Те, которые не в отелях - это общественные. В них крайне редко бывает privet bath (кашкири) - вы ведь это имели под "частным онсеном"? Так что privet bath нужно как раз в гостиницах смотреть. Но могу вас успокоить, в Токио, Киото и Осаке настоящих онсенов нет. Есть сенто - общественные бани, и имитирующие онсен помывочные при некоторых отелях. Богатые отели могут растворять в воде минералы или качать воду из-под земли, но зачастую там обычная водопроводная вода. Впрочем, городской 'онсен' тоже имеет право на жизнь, не всегда есть время в горы мотаться))