Подскажите, нет ли проблем сейчас с посещением Северного Кипра и штампом в паспорт? Нет ли проблем, чтобы попросить пограничника не ставить штамп в паспорт?

С посещением – нет проблем. По поводу штампа – запросто могут поставить, если въезжаете из Турции. Проблемы из-за штампа возможны только в случае подачи на национальную туристическую визу Республики Кипр и на шенген Греции, и то не гарантированы. В остальном – никаких проблем он не влечёт.