Если в кете указать, что у меня в Корее есть друг( он кореец) ввести его имя и телефон....на таможне они могут попросить показать переписку с ним? Были такие случаи?

Переписку вряд ли, но ему позвонить могут легко.

У меня лично проверяли переписку и фотографии.

У меня не спрашивали, 2 раза летала, наверное зависит от человека, выборочно спрашивают.