Подскажите, могут ли граждане РФ управлять авто на казахских номерах в Казахстане? Что для этого нужно? Как купить или вписаться в страховку и тд.

Если Вы в областном центре, лучше всего обратитесть в автоцон - аналог МФЦ, только чисто для автомобилистов. Там дадут исчерпывающую информацию. Ранее было много инфы, что нужно получать обязательно местные права.

Быть вписанным в страховку.

Могут. Автовладелец должен добавить вас к страховке в страховой компании.