Можно ли с документом возвращение на родину ( в Армению ) проехать на автобусе через Грузию ? Могут ли быть проблемы в Грузии ?

А я думаю, что не сможете. Это у вас единственный документ? Грузинские пограничники вполне резонно могут сказать: "на родину в Армению? - вот и летите себе прямо в Армению! При чём тут Грузия, это же не ваша родина. " При въезде в Грузию требуется загранпаспорт. Если у вас есть внутренний паспорт РФ, то вы спокойно можете прилететь даже без той справки. Если нет, то вероятно, по этой справке можно прилететь прямо из РФ в Ереван. Меньше риска.

Не должно.