Кто менял работодателя в Венгрии, скажите, можно ли продолжать работать в текущей компании, пока ожидаешь новый ВНЖ?

Думаю, что да. У вас же текущее внж аннулируется только после увольнения. Поэтому, если по срокам текущего все ок, то проблем не вижу.