Подскажите, обязательно ли класть в переноску собаке пеленку, или подкладка толстая из лежанки подойдет вместо нее?

Лучше все таки пеленку. Потому что если собака в дороге сходит в туалет, вы легко пелёнку поменяете, а вот подкладку будет сложно заменить.