Сняли квартиру в Батуми, въехали. Я сразу заметила, что холодильник старый, пожелтевший и гудит как самолёт.

А в договоре что написано?

Это сложно, увы. По идее, при заселении, вы должны были указать на это. Из личной практики арендодателя: Жилец разбил телевизор - купил новый. Сломалась микроволновка - чинил я сам.

У моих квартирантов (я местная), когда выходит из строя что-либо в процессе эксплуатации, всегда чиню я сама (если только это не из серии: случайно стулом попали в телик/люстру/зеркало ну т. п). Если ваш арендодатель добросовестный, то должен починить!

В договоре об аренде четко сказано, что в течение недели если что то поломается или обнаружите, что не работает, то все делает хозяин.