Подскажите, пожалуйста, про медицинскую страховку. С какого числа она должна действовать, с момента подачи или предполагаемого въезда?

Иммиграция недешевое занятие. Одно Вам поможет смириться, это то, к моменту приезда период каренсии (скорее всего) закончится.

Страховая компания может максимум отсрочить начало действия страховки на 2 месяца. Допустим, Вы подаётесь в начале декабря, и к моменту подачи должны уже иметь оплаченный полис, чтобы предоставить его в Консульство. Таким образом, самое позднее - начало действия полиса будет с февраля месяца. Как скоро Вы при этом получите одобрение - будет зависеть, увы, только от Консульства. Питерское обычно быстрее. В Москве может затянуться и на 4-5 месяцев с момента подачи документов.