Подскажите пожалуйста может ли безвизовый иностранец ехать на поезде (ласточке) из Москвы в Минск? есть ли контроль? могут быть проблемы?

Не может без Российского или белорусского паспорта.

Только самолетом. И если вы как иностранный гражданин попали в Москву по безвизу, то перед вылетом получите Визу РБ, а то вас на рейс аэрофлота могут пустить, но в РБ будет штраф+покупка визы 74+215бел. руб.