Вена-Барселона-Вена, кроме паспорта со всеми прививками и чипом что-то еще потребуется, если едем на два дня, паспорт у собаки РФ. Нужно ли какое-то разрешение от ветеринара?

Если бы был европаспорт, то справки бы не понадобились. Может у вас есть евросправка с печатью не истекшая? По ней можно двигаться по ЕС. Либо нужно оформлять документы на выезд.