Я устроился в компанию в Армении, в которой есть медицинская страховка, а у меня сломана перегородка носа.

Читайте условия конкретного договора, они все разные. Где-то можно хоть губы нарастить условно, где-то если сломал ногу и обратился сначала в травмпункт — уже все, не экстренный, обойдешься. Это, конечно, крайности, но суть передает.