Подскажите, пожалуйста, можно ли как-то остаться в Турции еще на месяц после 2хмесячного беспрерывного пребывания в стране?

Да) Остаётесь - потом штраф оплатите при выезде.

Можно, подайте заявку на внж ( деловая, туристическая, реабилитация ) и иные обстоятельства- до 6 месяцев давали, это краткосрочное.