Подскажите пожалуйста, могу ли я со словацким внж найти работу в Будапеште?

Да, но нет. Да - в смысле вас могут офернуть. Нет - надо менять ВНЖ.

Нет, для работы официальной в Венгрии вам нужно получить венгерское внж и оно будет привязано к конкретному работодателю, то есть при увольнении будет аннулировано.

Найти можете , но придется менять карточку на венгерскую.