Скажите, с privrememi borovak надо делать Белый Картон после въезда в Сербию из другой страны?

Нет, но лучше да. Его требуют в банке при открытии счета. И так на всякий случай, чтоб был. Если "всякий случай" не предвидится, то можно не делать.

Насколько я знаю, при смене адреса точно да. Если адрес тот же, то нет.

Нет не нужно. Для полиции/пограничника наклейки в паспорте достаточно. Для подтверждения адреса (в банке и т. п.) есть другой документ - Уверење о бороваку.