Как вообще оформляется прописка после получения внж Казахстана? Нужно ли собственнику квартиры что-то делать или какие-то дополнительные документы оформлять? Или прописка делается уже госорганами "автоматически"?

После положительного решения по РПП, вы идете с копией согласия (обязательно снять копию с согласия до того, как вы отдадите его для рассмотрения решения по РПП ) либо с собственником жилья в цон. И при подаче уже заявления на внж, вас прописывают. И желательно со всех документов снимать копии, лишним не будет.