Подскажите, пожалуйста, как можно податься на визу D7 без арендованной квартиры? Можно ли: - Дать расписку от местного, что он готов "приютить" у себя? - Сделать договор об аренде за плату чисто для визы?

Вам подойдет только официально зарегистрированный договор на год, который нужно регистрировать в налоговой и с которого арендодателю придется платить налоги за все время. отсюда делайте выводы.

И расписки от местного, письма от друзей, что приютят, не подойдут точно.