Подскажите, пожалуйста, в мэрию с документом об аренде нужно просто идти или нужно как-то записаться ?

Вы про прописку? Не знаю, где вы, расскажу, как в Валенсии. Можно ситу взять на определённое время, можно с утра прийти и постоять в очереди. Я не знаю, как сейчас обстановочка, месяц назад прописывалась - ситу брала недели за две, а живую очередь бы пришлось занимать с 6-7 утра, потому что они работают только в первую половину дня, пришедшие к открытию не успевали пройти.

В Мадриде обязательно надо записываться, если вы про получение empadronamiento ( записаться можно через ayuntamiento de Madrid)

При записи надо выбрать altas, bajas y cambio.