Подскажите, пожалуйста; если въехала в Алматы по старому загранпаспорту РФ, который заканчивается летом, можно ли записывать в договор аренды и подаваться сейчас на РВП с паспортом нового образца, который также на руках есть?

Можно. тео документов больше понадобится. Иин нужно оформить на паспорт нового образца. Трудовой договор, согласие собственника, ходатайство, в общем все документы на паспорт нового образца. Уведомление на паспорт, по которому заехали. И к заявке прикладываете оба паспорта.