Когда заключали договор о съеме жилья в Кыргызстане, его потом к нотариусу относить?

Не относили.

Нет, просто подписали и по копии себе оставили.

Не просто относили , а изначально сам договор подписывали при нотариусе! И нотариус третья сторона в договоре! Здесь только так и нужно, чтобы проблем не знать в будущем.