Скажите пожалуйста, при пересечении границы несовершеннолетнего с мамой, разрешение отца не требуют?

Если вы россияне , то не потребуют действуют только запретительные меры , то есть наоборот, если отец , к примеру, подал в органы бумагу, что против выезда вашего ребенка - тогда на границе они это видят во всех остальных случаях - никаких разрешений от второго родителя не нужно.

Мы делали доверенность у нотариуса.

Если ребенок выезжает с одним из родителей, то разрешения не требуется. Если с кем-то из родственников, то будут проблемы.

Если ребёнок ваш, то согласие второго родителя не нужно. Если не ваш - то нотариальное согласие родителей, в котором все будет прописано, с кем, в какой период и т. д. они дают согласие на выезд.