Подскажите, каким либо видом транспорта, кроме авто и самолёта, можно добраться до Турции из Батуми ?

Насколько известно водный транспорт в Турцию не ходит. Только автомобилем и самолётом.

До Сарпи автобус 16, маршрутки вроде тоже, или такси, на турецкой стороне уже местные маршрутки и автобусы.

Поездов нет )

Автобус! см сайты Metro Georgia или турецкий же Metro. У них и офлайновый офис продаж на ЖД вокзале Батуми есть.