Если архив (латвийский или российский) даёт справку, что мой родственник латыш, но не предоставляет копию документа, где это указано, будет ли такая справка доказательством моего латышского происхождения для?

Архивная справка подходит. Главное, чтобы в ней была указана национальность родственника. На неё тоже ставят апостили (Россия)

Архив дает справки, которые являются по сути копией документа. Как архив может подтвердить что-то без приложения документа? Они могут переписать данные с указанием реквизитов документа. Это такой случай?

Архив(РФ) может дать вам архивную справку, и архивную копию. И на то и на то можно поставить Апостиль.