Скажите, пожалуйста, возможно ли выехать из Черногории и въехать в Боснию на машине с русскими номерами? И, нужна ли доверенность от хозяина машины?

Выехать и въехать возможно - но заставят страховку боснийскую оформить тут же на границе. 25 евро минимальная. Доверенность по идее должна быть, но тут как повезёт - могут и не спросить. Смотрят паспорт - прокатывают по базе и документ на машину - свидетельство о регистрации.