В аэропорте при вылете из Узбекистана спрашивают бумажку о регистрации, или могут сами в системе посмотреть?

Спрашивают, но не всегда. Смотрят, сколько времени прошло с даты въезда.

Проходил через автоматические турникеты. Из очереди никого не проверяли, меня тоже. Рядом стоит 1 пограничник, без компа. Думаю, там лотерея. Могут проверить.

1 раз не смотрели, 1 раз смотрели.

У меня ни разу за все время не не спросили. Так что действительно кому какой попадется пограничник.