Мы новые репатрианты. Подскажите пожалуйста. Мы сняли квартиру, а владелец взял с нас 13 чеков, так и должно быть?

Да, каждый чек он будет обналичивать в нужную дату. Вы же на каждом чеке указали разные месяцы.

Да. Так и должно быть. 12 чеков за 12 месяцев и один "страховой" на случай порчи имущества. Если всё будет хорошо, то при завершении отношений вам его вернут или уничтожат в вашем присутствии.