Скажите, если подать документы на ВНЖ Армении (не имея других оснований для легального пребывания в РА), в срок рассмотрения заявления можно легально пребывать в стране свыше положенных 180 дней в году?

Вроде, так же можно ждать. И если в итоге даже откажут в ВНЖ, то даётся месяц на выезд из страны. Но информацию лучше перепроверить)

В других странах обычно дают специальный статус соискателя ВНЖ (называется по-разному), но в РА такого действительно нет. Но учитывая что с visa runs не борются и в целом не терроризируют по мелочам, думаю, вы можете или поехать на выходные в Грузию, или досидеть здесь до ВНЖ и не переживать.