А что бывает если жить не по месту регистрации в КР?

Ничего. Тут наверное 80% живет не по регистрации.

Вообще, при смене места проживания нужно зарегистрироваться по новому адресу в течение 30 дней, но никто этим не заморачивается. Зарегистрированы по одним адресам, живут по другим.

Юридически ? Или Де-Факто? Де факто: гражданам КР и ЛБГ ничего. Иностранным гражданам могут в очень редких случаях дополнительно оформить протокол, ну если например при пьяном дебоше задержат в Караколе с регистрацией в Баткене каком нибудь і иностранный гражданин признаются что регистрация фиктивная.