Если владелец рабочей визы на Кипре меняет работу и переподается на визу, то нужно ли супруге и ребенку тоже переподаваться?

Да, потому что меняются данные спонсора, основание для визы (трудовой договор), и у семьи соответственно тоже. Вроде так.

Лучше уточнить в миграционной службе, потому мне говорили, что не нужно.