Никто не сталкивался с ситуацией, когда при рейсе с пересадкой задерживают первую часть, а вторая вылетает во время?

если у вас единый билет - это будет проблема перевозчика, если раздельный - ваша.

Они правы. По задержкам, отмене рейсов это к авиакомпании. Если вы в аэропорту обратитесь к представителю авиакомпании и покажите билет. Если билет один а оба сегмента, вас пересадят на ближайший.