Не подскажете, на сколько я понимаю для ВНЖ в Сербии нужна выписка со счета в Сербии, но большинство банков без ВНЖ счета не открывают.

Попробуйте Альта Банк, в нем тоже открывают нерезеденту. Я вчера подписала документы на открытие счета. Правда я не в Белграде, а в Нише, но не думаю что это сильно как-то влияет.