Можно ли с американской картой приехать в Москву и положить доллары наличкой через банкомат?

Нет.

Об этом надо спросить в Вашем американском банке. Большинство американских банков (в том числе BoA, Chase, Citi, U. S.) не позволяют делать депозиты в "чужих" банкоматах (out-of-network ATM) даже в США. Но некоторые позволяют: TD в банкоматах сетей Cirrus и PLUS, CapitalOne в сети Allpoint.