Оформил разрешение на пребывание в Казахстане в eqonaq. Серия и номер паспорта прописал. А в распечатанном экземпляре стоит только номер паспорта без серии. Это нормально?

Это не разрешение на пребывание. Это лишь уведомление от лица собственника, что к нему заселился иностранец. Не смотрите даты в этом документе, считайте разрешенные дни сами. Насчёт указанного там паспорта, ничего страшного.