Переезд в Аргентину. Подскажите, а можно ли на все документы проставить апостиль для того, чтобы не бегать в разные учреждения?

Если в общих чертах, то нет. За апостили в России (а я не знаю откуда вы) отвечают разные ведомства и к тому же не все документы подлежат апостилированию (коммерческие документы нельзя апостилировать).

Апостили на документы ставятся еще конкретно по месту выдачи. Например, Питерские доки апостилируют в Питере и тд. Как вариант, можно заказать истребование новых документов в любом городе страны выдачи и там же уже на новые доки ставить апостиль Мы например, одни документы отправили в Питер.