Подскажите пожалуйста, сколько раз и где именно нужно доставать животное из переноски в Шереметьево? Например, при входе в аэропорт нужно или нет?

Нужно. И на досмотре перед входом в чистую зону.

Вы должны упаковать в переноску только перед взвешиванием и сдачей в багаж, или при заходе в салон самолета, все остальное время животное может быть вне переноски.