Если я снимаю квартиру и проживаю без договора, то могут ли возникнуть у меня или лендлорда проблемы после указания моего адреса в качестве рабочего? по ИП в Грузии

Нет, Вы можете по закону жить в Грузии, где хотите и сколько хотите, никакая регистрация Вам не нужна. Если ваш хозяин не платит налоги на сдачу в найм жилья, это уже другой вопрос, но в данном случае, Вы же можете быть и его другом, который живет бесплатно, например)

Смотря где укажете). если в заявлении о том, что он не платит налоги, то могут быть)